Geometria e Medida 2

Os quadriláteros do Tangram

A soma dos ângulos internos

A prova de que a soma da amplitude dos ângulos internos de um triângulo
é de 180º partiu da observação das medidas efectuadas e foi feita utilizando o Geogebra.

Geometria e Medida

         Todos os alunos da turma estudaram propriedades geométricas das peças do Tangram e efectuaram medidas do comprimento dos lados e da amplitude dos ângulos.

Decorrendo deste trabalho surgiram as hipóteses sobre a soma (da amplitude) dos ângulos internos dos triângulos e dos quadriláteros.

A primeira foi provada através do estudo realizado com o Geogebra, software de geometria dinâmica. A segunda, na altura em que o trabalho foi publicado,  ainda se encontrava em fase de conjectura.

Os trabalhos que constavam das páginas 16 a 23 são exemplificativos das actividades realizadas.

É interessante realçar que, à medida que o trabalho avançava e para publicação do livro, os alunos tiveram de rectificar medidas, quer dentro do grupo, quer com outros grupos. Começaram a descobrir relações de congruência geométrica entre os lados das diferentes peças. Por exemplo, o lado maior do triângulo médio tinha de ser igual aos lados menores do  triângulo grande, ...

De reparar também que, no exemplo anterior, o grupo da Catarina começou a formular a hipótese da soma das amplitudes dos ângulos (internos) de um triângulo.

A medida na Geometria e Aritmética do Tangram - 3

Os Algarismos

         Dez alunos formaram os algarismos que constam das páginas 5 a 14 da brochura.

         F Experimente construir os mesmos. Caso tenha dificuldades, pode consultar a solução no verso de cada página.

         Os algarismos que apresentaram não são únicos. A criatividade humana não tem limites.

          Apresentamos um dos algarismos construídos

           e a respectiva solução

A medida na Geometria e Aritmética do Tangram - 2

Coube ao Pedro resumir e passar a computador a história do Tangram:

"O Tangram

O Tangram é um jogo chinês muito antigo chamado “Chi Chiao Pan” que significa “jogo dos sete elementos” ou “sete pratos da sabedoria” (isto é porque o Tangram tem 7 peças).

As regras do Tangram são:

•  Utilizar todas as peças (2 triângulos grandes, 1 triângulo médio, 1 quadrado, 1 paralelogramo e 2 triângulos pequenos).
• As peças têm que se tocar.
• Nenhuma peça pode sobrepor-se a outra.

Existem várias teorias sobre a origem da palavra Tangram:

Segundo algumas pessoas, esta foi inventada por um inglês, unindo o vocábulo cantonês “tang” que significa chinês, como vocábulo latino “gram” que significa escrito gráfico.

Existe outra história que conta que o Tangram foi inventado por um homem chamado Tan enquanto tentava consertar os bocados quebrados de um azulejo de porcelana que se tinha partido em sete partes, de modo que ficaram as setes peças do Tangram.

Não se sabe ao certo quem inventou o jogo nem quando, apesar de este quebra -cabeças ser muito antigo, o primeiro livro conhecido foi publicado em 1813 na China.

Inicialmente, através dos livros chineses, conheciam-se apenas algumas centenas de figuras originais que se podiam fazer com o Tangram. Mas já em 1900 descobriram-se aproximadamente 900. Actualmente existem cerca de 16 000 figuras distintas que se podem construir com as peças do Tangram.

Hoje em dia o Tangram não é só utilizado como entretenimento, utiliza-se também na Psicologia, em Desenho, em Filosofia, em Matemática e particularmente na Pedagogia." (pag. 2 da brochura)

A medida na Geometria e Aritmética do Tangram

O trabalho que descrevemos remonta ao 2º período   de 2008/2009 e decorreu no âmbito do Plano da Matemática, nas aulas em co-docência e destinadas a actividades de investigação. Envolveu os vinte e quatro alunos de uma turma do 6º ano.

 Uma velha paixão pelo Tangram foi o ponto de partida para a actividade. Mas não foi só esse gosto que justificou as tarefas com esse jogo milenar chinês. O reconhecimento do seu potencial lúdico, o propiciar do desenvolvimento de capacidades matemáticas, visualização, organização espacial, raciocínio, exactidão e perseverança influíram na nossa escolha.

As actividades tiveram como objectivo estabelecer ligações entre a Geometria e a Aritmética - duas áreas da Matemática que, muitas vezes, são tratadas separadamente - e enquadraram-se numa metodologia de pesquisa.
 Os alunos trabalharam todos os assuntos em pequenos grupos. Para a brochura cada grupo escolheu uma "capítulo" do trabalho global, tendo de fazer a articulação com os outros grupos, nomeadamente na rectificação de medidas.

A investigação das propriedades geométricas das peças do Tangram permitiu:

·         Fazer o estudo dos triângulos rectângulos isósceles, e motivar para a classificação de outro tipo de triângulos;

·         Fazer o estudo de quadriláteros “especiais”, o paralelogramo e o quadrado;

·         Estabelecer relações de igualdade entre os lados das figuras;

·         Reforçar a medida da amplitude de ângulos;

·         Estabelecer conjecturas em relação à soma dos ângulos internos (triângulos e quadriláteros) e provar a hipótese relativa à soma dos ângulos internos dos triângulos.

O estudo aritmético, ao estabelecer relações entre as diferentes peças entre si e com o Tangram, permitiu:

·         Reforçar o conceito de número fraccionário representado por fracção e/ou por numeral decimal;

·         Calcular a área dos polígonos do Tangram (triângulos, paralelogramo e quadrado), utilizando a área do Tangram como referência.

Este trabalho terá também contribuído para desenvolver as capacidades psicomotoras e intelectuais dos alunos, ao permite ligar de forma lúdica a manipulação de materiais com a formação de ideias abstractas.

Esta actividade foi gratificante. Tivemos condições para a realizar. Dela resultou a publicação de uma brochura, "A medida na Geometria e Aritmética do Tangram", suportada pela escola, e de que foi oferecido um exemplar a cada aluno da turma.

Desse livrinho constam:

1. Prefácio           2. O Tangram           3.  Os Algarismos 

4. Geometria e Medida           5.  Aritmética e Área  

6.  Soluções dos problemas de áreas                                                                                                                                                                                                  

                                                                                                            

Bem hajam todos os participantes.

Ó stôra, porque não se faz assim o ano todo?

"A minha obra prima" - Joana Paiva

          No final do 2º Período de um já muito longínquo ano lectivo, os professores de Matemática de uma escola EB 2/3 da Cova da Beira deparavam-se com um elevado insucesso no 5º ano.

          Tendo como pressuposto que o processo activo de criar conhecimento se destingue do simples dominar de conceitos e algoritmos, desenvolveram, no ano lectivo seguinte,  o projecto Matemática - Experimentação e Construção com o objectivo de analisar em que medida a aprendizagem centrada em situações problemáticas "experimentais" poderia contribuir para diminuir o insucesso verificado no ano anterior. Assim:

- As estratégias de ensino deveriam incidir no envolvimento dos alunos no processo de aprendizagem e não na simples transmissão de conhecimentos;

- O “laboratório de matemática” seria um dos contextos de ensino/aprendizagem, facilitador da experimentação, formulação e validação de hipóteses e estimulador da utilização de capacidades e competências tais como planear, organizar, observar, medir, manipular e interpretar, tendo em vista a construção de saberes.

            A nível da disciplina, visto que nem todas as turmas integravam o projecto, a preparação foi feita durante o primeiro e segundo períodos, tendo, principalmente, em vista a integração dos conteúdos a explorar na planificação anual. O design das tarefas foi estabelecido pelos três professores envolvidos no projecto.

As actividades foram realizadas, em pequenos grupos, no âmbito da disciplina (semanalmente, eram utilizados dois tempos lectivos consecutivos), envolvendo quatro turmas do 6º ano de escolaridade. Centraram-se em temas da geometria, essencialmente do 5º ano de escolaridade (devido ao insucesso anteriormente referido os conteúdos programáticos daquele ano não tinham sido cumpridos).

O trabalho com os alunos foi predominantemente desenvolvido na sala de Informática, o Cabri-géomètre foi o micromundo utilizado, a par com materiais próprios da disciplina (régua, transferidor, calculadoras,...) e de uso corrente.  As aulas decorreram na sala de Ciências da Natureza quando a “pesquisa” necessitava de materiais próprios das ciências experimentais.

As aulas do projecto ocuparam cerca de dezasseis horas:

         Durante o mês de Novembro, realizaram-se duas sessões, de duas horas cada, que tinham como objectivo principal familiarizar os alunos com as principais funcionalidades do Cabri - géomètre, através de um problema de construção (do rectângulo). Pretendia-se, igualmente, que através da resolução do problema, os alunos adquirissem as noções de paralelismo e perpendicularidade.

        O tema trabalhado no segundo período, tinha como objectivo fundamental que os alunos iniciassem, de modo mais sistemático, a formulação e validação de conjecturas. O conteúdo escolhido foi a soma das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo. As actividades envolveram corte e colagem, medição e o Cabri-géomètre.

Segue o guião do trabalho

Material

Régua

Transferidor

Tesoura

Cola

Computador e programa Cabri - géomètre

1. Desenha um triângulo.

1.1. Usa o transferidor e mede a amplitude de cada um dos ângulos internos do triângulo. Regista-as.

1.2. Calcula o valor da soma das amplitudes dos ângulos internos do triângulo.

1.3. Compara o resultado a que chegaste com os dos teus colegas de grupo.

O que concluis?

2. Copia o triângulo que desenhaste em 1.  Recorta, justapõe e cola os três “cantos” de modo a que os três vértices fiquem unidos.

2.1. O que observas?

2.2. Compara o teu trabalho com o dos teus colegas e tira uma conclusão.

3. Utiliza agora o Cabri - géomètre para verificares os resultados registados em 1.3. e 2.2..

ATENÇÃO: Vais utilizar o Jornal de Sessão para poderes rever o teu trabalho.

4. Regista as tuas conclusões, justificando-as o melhor possível.

         No terceiro período (quatro sessões de duas horas), as actividades incidiram no conceito de volume, unidades de volume e capacidade, volume do paralelepípedo e do cubo.

  

A partir do segundo período, cada grupo de alunos terminava a actividade com a escrita de um relatório. No grupo turma eram discutidos os processos utilizados e os resultados obtidos, tendo em vista a institucionalização do conhecimento.

          A avaliação teve um carácter eminentemente formativo e baseou-se em grelhas de registo dos objectivos atingidos (em cada sessão, fez-se a observação focalizada de um ou dois grupos de alunos), trabalhos (escritos / informáticos) e relatórios dos alunos.

No final do ano, foi feita uma “exposição do laboratório” com as situações problemáticas, guiões orientadores da resolução e os materiais utilizados para apoio às actividades, tendo alunos de outras turmas / anos vivido, durante dois dias, a experiência do Matemática - Experimentação e Construção.

Alguns alunos que participaram activamente nesta “exposição do laboratório” perguntavam:

          “Ó stôra, porque não se faz assim o ano todo?”

Resultados

Devido ao reduzido número de aulas que funcionaram com a metodologia experimental, os resultados foram fruto tanto de uma avaliação formal como de uma aproximação intuitiva à realidade.

          Os alunos revelaram gostar da metodologia seguida e preferir estas aulas às de cariz mais tradicional. No entanto, alguns não deixavam de transmitir a preocupação de estarem “atrasados”, quando comparavam a sua aquisição de conhecimentos com a de outras turmas, tomando como ponto de referência o manual escolar.

O projecto terá influenciado positivamente as atitudes dos alunos relacionadas com trabalho de grupo, autonomia e gosto pela pesquisa. Os resultados foram menos satisfatórios quanto à consecução dos objectivos referentes ao desenvolvimento de capacidades (de resolução de problemas e de comunicação) e construção / aquisição de conhecimentos.

         Nas reuniões de equipa foi, por várias vezes, posta a hipótese de que os resultados menos positivos quanto a construção de conhecimentos se poderiam ficar a dever essencialmente ao facto dos alunos não estarem habituados a envolver-se na construção activa da sua aprendizagem, o que implicaria que metodologias centradas no aluno só poderiam surtir efeitos a médio prazo e depois de um trabalho continuado, que não foi possível realizar.

Conclusões

Pareceu aos professores intervenientes no projecto que os alunos demoravam muito tempo na realização das actividades (estas ocupavam em média o dobro do tempo previsto) do que teria resultado atraso no cumprimento do programa, quanto à aquisição de conhecimentos.  “Desmoralizados” decidiram que, no próximo ano, “abandonariam” a “experimentação e a construção”, tendo voltado ao esquema de quatro horas semanais separadas, gerindo o ensino de um modo mais tradicional.

E surpresa das surpresas! No final do ano, turmas com características algo semelhantes às intervenientes no projecto não tinham ficado mais adiantadas no “programa”.

“Afinal, a experiência não teria causado atraso no cumprimento dos conteúdos programáticos!” - comentou-se - “E os alunos deste ano não puderam gozar do computador, dos berlindes, da discussão...”

Poucos anos mais tarde, a Reorganização Curricular "enquadrou" esta experiência.

Hoje essa mesma Reorganização está posta em causa. As competências foram consideradas inúteis pelo actual Ministro da Educação. As condições de trabalho, nas escolas, deixarão pouco tempo para planificar actividades deste tipo.