A medida na Geometria e Aritmética do Tangram - 3

Os Algarismos

         Dez alunos formaram os algarismos que constam das páginas 5 a 14 da brochura.

         F Experimente construir os mesmos. Caso tenha dificuldades, pode consultar a solução no verso de cada página.

         Os algarismos que apresentaram não são únicos. A criatividade humana não tem limites.

          Apresentamos um dos algarismos construídos

           e a respectiva solução

A medida na Geometria e Aritmética do Tangram - 2

Coube ao Pedro resumir e passar a computador a história do Tangram:

"O Tangram

O Tangram é um jogo chinês muito antigo chamado “Chi Chiao Pan” que significa “jogo dos sete elementos” ou “sete pratos da sabedoria” (isto é porque o Tangram tem 7 peças).

As regras do Tangram são:

•  Utilizar todas as peças (2 triângulos grandes, 1 triângulo médio, 1 quadrado, 1 paralelogramo e 2 triângulos pequenos).
• As peças têm que se tocar.
• Nenhuma peça pode sobrepor-se a outra.

Existem várias teorias sobre a origem da palavra Tangram:

Segundo algumas pessoas, esta foi inventada por um inglês, unindo o vocábulo cantonês “tang” que significa chinês, como vocábulo latino “gram” que significa escrito gráfico.

Existe outra história que conta que o Tangram foi inventado por um homem chamado Tan enquanto tentava consertar os bocados quebrados de um azulejo de porcelana que se tinha partido em sete partes, de modo que ficaram as setes peças do Tangram.

Não se sabe ao certo quem inventou o jogo nem quando, apesar de este quebra -cabeças ser muito antigo, o primeiro livro conhecido foi publicado em 1813 na China.

Inicialmente, através dos livros chineses, conheciam-se apenas algumas centenas de figuras originais que se podiam fazer com o Tangram. Mas já em 1900 descobriram-se aproximadamente 900. Actualmente existem cerca de 16 000 figuras distintas que se podem construir com as peças do Tangram.

Hoje em dia o Tangram não é só utilizado como entretenimento, utiliza-se também na Psicologia, em Desenho, em Filosofia, em Matemática e particularmente na Pedagogia." (pag. 2 da brochura)

A medida na Geometria e Aritmética do Tangram

O trabalho que descrevemos remonta ao 2º período   de 2008/2009 e decorreu no âmbito do Plano da Matemática, nas aulas em co-docência e destinadas a actividades de investigação. Envolveu os vinte e quatro alunos de uma turma do 6º ano.

 Uma velha paixão pelo Tangram foi o ponto de partida para a actividade. Mas não foi só esse gosto que justificou as tarefas com esse jogo milenar chinês. O reconhecimento do seu potencial lúdico, o propiciar do desenvolvimento de capacidades matemáticas, visualização, organização espacial, raciocínio, exactidão e perseverança influíram na nossa escolha.

As actividades tiveram como objectivo estabelecer ligações entre a Geometria e a Aritmética - duas áreas da Matemática que, muitas vezes, são tratadas separadamente - e enquadraram-se numa metodologia de pesquisa.
 Os alunos trabalharam todos os assuntos em pequenos grupos. Para a brochura cada grupo escolheu uma "capítulo" do trabalho global, tendo de fazer a articulação com os outros grupos, nomeadamente na rectificação de medidas.

A investigação das propriedades geométricas das peças do Tangram permitiu:

·         Fazer o estudo dos triângulos rectângulos isósceles, e motivar para a classificação de outro tipo de triângulos;

·         Fazer o estudo de quadriláteros “especiais”, o paralelogramo e o quadrado;

·         Estabelecer relações de igualdade entre os lados das figuras;

·         Reforçar a medida da amplitude de ângulos;

·         Estabelecer conjecturas em relação à soma dos ângulos internos (triângulos e quadriláteros) e provar a hipótese relativa à soma dos ângulos internos dos triângulos.

O estudo aritmético, ao estabelecer relações entre as diferentes peças entre si e com o Tangram, permitiu:

·         Reforçar o conceito de número fraccionário representado por fracção e/ou por numeral decimal;

·         Calcular a área dos polígonos do Tangram (triângulos, paralelogramo e quadrado), utilizando a área do Tangram como referência.

Este trabalho terá também contribuído para desenvolver as capacidades psicomotoras e intelectuais dos alunos, ao permite ligar de forma lúdica a manipulação de materiais com a formação de ideias abstractas.

Esta actividade foi gratificante. Tivemos condições para a realizar. Dela resultou a publicação de uma brochura, "A medida na Geometria e Aritmética do Tangram", suportada pela escola, e de que foi oferecido um exemplar a cada aluno da turma.

Desse livrinho constam:

1. Prefácio           2. O Tangram           3.  Os Algarismos 

4. Geometria e Medida           5.  Aritmética e Área  

6.  Soluções dos problemas de áreas                                                                                                                                                                                                  

                                                                                                            

Bem hajam todos os participantes.

Ó stôra, porque não se faz assim o ano todo?

"A minha obra prima" - Joana Paiva

          No final do 2º Período de um já muito longínquo ano lectivo, os professores de Matemática de uma escola EB 2/3 da Cova da Beira deparavam-se com um elevado insucesso no 5º ano.

          Tendo como pressuposto que o processo activo de criar conhecimento se destingue do simples dominar de conceitos e algoritmos, desenvolveram, no ano lectivo seguinte,  o projecto Matemática - Experimentação e Construção com o objectivo de analisar em que medida a aprendizagem centrada em situações problemáticas "experimentais" poderia contribuir para diminuir o insucesso verificado no ano anterior. Assim:

- As estratégias de ensino deveriam incidir no envolvimento dos alunos no processo de aprendizagem e não na simples transmissão de conhecimentos;

- O “laboratório de matemática” seria um dos contextos de ensino/aprendizagem, facilitador da experimentação, formulação e validação de hipóteses e estimulador da utilização de capacidades e competências tais como planear, organizar, observar, medir, manipular e interpretar, tendo em vista a construção de saberes.

            A nível da disciplina, visto que nem todas as turmas integravam o projecto, a preparação foi feita durante o primeiro e segundo períodos, tendo, principalmente, em vista a integração dos conteúdos a explorar na planificação anual. O design das tarefas foi estabelecido pelos três professores envolvidos no projecto.

As actividades foram realizadas, em pequenos grupos, no âmbito da disciplina (semanalmente, eram utilizados dois tempos lectivos consecutivos), envolvendo quatro turmas do 6º ano de escolaridade. Centraram-se em temas da geometria, essencialmente do 5º ano de escolaridade (devido ao insucesso anteriormente referido os conteúdos programáticos daquele ano não tinham sido cumpridos).

O trabalho com os alunos foi predominantemente desenvolvido na sala de Informática, o Cabri-géomètre foi o micromundo utilizado, a par com materiais próprios da disciplina (régua, transferidor, calculadoras,...) e de uso corrente.  As aulas decorreram na sala de Ciências da Natureza quando a “pesquisa” necessitava de materiais próprios das ciências experimentais.

As aulas do projecto ocuparam cerca de dezasseis horas:

         Durante o mês de Novembro, realizaram-se duas sessões, de duas horas cada, que tinham como objectivo principal familiarizar os alunos com as principais funcionalidades do Cabri - géomètre, através de um problema de construção (do rectângulo). Pretendia-se, igualmente, que através da resolução do problema, os alunos adquirissem as noções de paralelismo e perpendicularidade.

        O tema trabalhado no segundo período, tinha como objectivo fundamental que os alunos iniciassem, de modo mais sistemático, a formulação e validação de conjecturas. O conteúdo escolhido foi a soma das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo. As actividades envolveram corte e colagem, medição e o Cabri-géomètre.

Segue o guião do trabalho

Material

Régua

Transferidor

Tesoura

Cola

Computador e programa Cabri - géomètre

1. Desenha um triângulo.

1.1. Usa o transferidor e mede a amplitude de cada um dos ângulos internos do triângulo. Regista-as.

1.2. Calcula o valor da soma das amplitudes dos ângulos internos do triângulo.

1.3. Compara o resultado a que chegaste com os dos teus colegas de grupo.

O que concluis?

2. Copia o triângulo que desenhaste em 1.  Recorta, justapõe e cola os três “cantos” de modo a que os três vértices fiquem unidos.

2.1. O que observas?

2.2. Compara o teu trabalho com o dos teus colegas e tira uma conclusão.

3. Utiliza agora o Cabri - géomètre para verificares os resultados registados em 1.3. e 2.2..

ATENÇÃO: Vais utilizar o Jornal de Sessão para poderes rever o teu trabalho.

4. Regista as tuas conclusões, justificando-as o melhor possível.

         No terceiro período (quatro sessões de duas horas), as actividades incidiram no conceito de volume, unidades de volume e capacidade, volume do paralelepípedo e do cubo.

  

A partir do segundo período, cada grupo de alunos terminava a actividade com a escrita de um relatório. No grupo turma eram discutidos os processos utilizados e os resultados obtidos, tendo em vista a institucionalização do conhecimento.

          A avaliação teve um carácter eminentemente formativo e baseou-se em grelhas de registo dos objectivos atingidos (em cada sessão, fez-se a observação focalizada de um ou dois grupos de alunos), trabalhos (escritos / informáticos) e relatórios dos alunos.

No final do ano, foi feita uma “exposição do laboratório” com as situações problemáticas, guiões orientadores da resolução e os materiais utilizados para apoio às actividades, tendo alunos de outras turmas / anos vivido, durante dois dias, a experiência do Matemática - Experimentação e Construção.

Alguns alunos que participaram activamente nesta “exposição do laboratório” perguntavam:

          “Ó stôra, porque não se faz assim o ano todo?”

Resultados

Devido ao reduzido número de aulas que funcionaram com a metodologia experimental, os resultados foram fruto tanto de uma avaliação formal como de uma aproximação intuitiva à realidade.

          Os alunos revelaram gostar da metodologia seguida e preferir estas aulas às de cariz mais tradicional. No entanto, alguns não deixavam de transmitir a preocupação de estarem “atrasados”, quando comparavam a sua aquisição de conhecimentos com a de outras turmas, tomando como ponto de referência o manual escolar.

O projecto terá influenciado positivamente as atitudes dos alunos relacionadas com trabalho de grupo, autonomia e gosto pela pesquisa. Os resultados foram menos satisfatórios quanto à consecução dos objectivos referentes ao desenvolvimento de capacidades (de resolução de problemas e de comunicação) e construção / aquisição de conhecimentos.

         Nas reuniões de equipa foi, por várias vezes, posta a hipótese de que os resultados menos positivos quanto a construção de conhecimentos se poderiam ficar a dever essencialmente ao facto dos alunos não estarem habituados a envolver-se na construção activa da sua aprendizagem, o que implicaria que metodologias centradas no aluno só poderiam surtir efeitos a médio prazo e depois de um trabalho continuado, que não foi possível realizar.

Conclusões

Pareceu aos professores intervenientes no projecto que os alunos demoravam muito tempo na realização das actividades (estas ocupavam em média o dobro do tempo previsto) do que teria resultado atraso no cumprimento do programa, quanto à aquisição de conhecimentos.  “Desmoralizados” decidiram que, no próximo ano, “abandonariam” a “experimentação e a construção”, tendo voltado ao esquema de quatro horas semanais separadas, gerindo o ensino de um modo mais tradicional.

E surpresa das surpresas! No final do ano, turmas com características algo semelhantes às intervenientes no projecto não tinham ficado mais adiantadas no “programa”.

“Afinal, a experiência não teria causado atraso no cumprimento dos conteúdos programáticos!” - comentou-se - “E os alunos deste ano não puderam gozar do computador, dos berlindes, da discussão...”

Poucos anos mais tarde, a Reorganização Curricular "enquadrou" esta experiência.

Hoje essa mesma Reorganização está posta em causa. As competências foram consideradas inúteis pelo actual Ministro da Educação. As condições de trabalho, nas escolas, deixarão pouco tempo para planificar actividades deste tipo. 

Estudo Acompanhado em estado de coma

O Diário da República, 1.ª série — N.º 23 — 2 de Fevereiro de 2011 publicou o Decreto-Lei n.º 18/2011 que dita o estado de coma do Estudo Acompanhado.

O espírito orientador desta área curricular não disciplinar, criada quando da Reorganização Curricular do Ensino Básico (Decreto -Lei n.º 6/2001, de 18 de Janeiro) é, a meu ver, completamente adulterado pela actual legislação.

O D.L. 6/2001 estipulava no seu artigo 5º o papel das NAC´s (Novas Áreas Curriculares), designadamente o Estudo Acompanhado era a área que

visava a aquisição de competências que permitissem a apropriação pelos alunos de métodos de estudo e de trabalho e proporcionassem o desenvolvimento de atitudes e de capacidades que favorecessem uma cada vez maior autonomia na realização das aprendizagens.

 Para o próximo ano lectivo o estudo acompanhado destina-se aos alunos com efectivas necessidades de apoio, como se o estado da nossa educação (recentemente foi divulgado que 35% dos alunos já reprovaram pelo menos uma vez no Ensino Básico) não continue a apresentar a necessidade de uma efectiva melhoria dos métodos de estudo da grande maioria alunos.

Esta e outras medidas avulsas sobre o currículo estão / vão  destruir o que de positivo se fez em Educação nos últimos  anos.

A propósito consulte-se sobre o assunto o parecer da Associação de Professores de Matemática (APM).

Comunicado da APM

 Muito se discutiu no início do milénio sobre o papel das NAC's. Foi no Conselho Nacional da APM, foi em diversos encontros, quer nacionais, quer regionais.

Recordo alguma reflexão publicada no APMinformação nº 57 , de Junho de 2001:

"As palavras são como as cerejas

(...) A escrita de um relatório, em laboratório de Matemática (possível também nos 2º e 3º ciclos, e porque não até no 1º?), contribuirá para o

desenvolvimento da expressão escrita, assim como o debate, em grande ou pequeno grupo, para a aceitação de opiniões diferentes e para o aperfeiçoamento da expressão oral. A exploração de alguns conteúdos permitirá contribuir para desenvolver o sentido crítico das crianças (pegar em folhetos de supermercado, trabalhar os arredondamentos e “desmontar” algumas técnicas de marketing será uma experiência de aprendizagem que ajudará a formar cidadãos mais conscientes).

Bem, “as palavras são como as cerejas”... Em demasia, podem fazer mal!

Esta Reorganização Curricular pretende (e pode)  provocar mudanças na Escola mas não tenhamos dúvida que só conduzirá ao sucesso, se as escolas contarem com os recursos humanos e materiais necessários à sua

implementação. Caso contrário, quedar-se-á por não ser mais que uma “Gestão Flexível dos Horários” e isso seria o pior que lhe poderia acontecer. Por isso, será preciso dar-lhe tempo para crescer, para reflectirmos e   

... para comer cerejas."

Transformações geométricas

A actividade seguinte foi apresentada no Grupo de Trabalho do 2º Ciclo da APM, quando discutíamos, no ano de 2008, a Reformulação do Programa de Matemática, em que as transformações geométricas tomaram um papel preponderante no programa daquele ciclo.

Considere o seguinte quadrilátero (ou qualquer outro polígono).

Actividade 1

 a. Desenhe uma recta r. Determine o transformado do quadrilátero através de uma reflexão em relação a r. 

b. Desenhe outra recta s paralela a r. Determine o transformado do segundo quadrilátero através de uma reflexão em relação a s.

 c. Tire conclusões sobre a transformação do primeiro quadrilátero no terceiro.

 Actividade 2

Repita os procedimentos anteriores se r e s forem concorrentes. 

Tire conclusões

 Actividade 3

b. O que acontece se r e s forem perpendiculares?

Estas actividades resultam muito bem se forem trabalhadas em AGD  (Ambiente Geométrico Dinâmico).

Onde ficou o sonho?

Pesquisando no meu baú digital, encontrei o texto que segue. Foi escrito no século XX para sustentar a minha participação num painel sobre "A Geometria nos Programas e as Conexões". Este painel fez parte do segundo Encontro Regional de Professores de Matemática, CoviMat 99, que se realizou no dia 23 de Abril, na Universidade da Beira Interior, na Covilhã. O Encontro foi organizado pelo Núcleo Regional da Covilhã da Associação de Professores de Matemática. O painel foi moderado pelo meu ilustre colega Manuel Saraiva e nele intervieram o Augusto Carvalho, a Cristina Loureiro, a Teresa Colaço e a Isabel Coelho. 

É bom recordar:

 Algumas reflexões sobre o Ensino / Aprendizagem da Geometria e Conexões com outras áreas da Matemática

A Geometria é um ramo privilegiado da Matemática por estar estreitamente ligada à realidade envolvente e à experiência dos alunos, o que permite uma maior facilidade na construção de conceitos, a partir de situações concretas.  As actividades geométricas são inspiradoras de intuições e necessárias na passagem do particular ao abstracto.  Nestas idades (2º e 3º ciclos), é fundamental a criação de situações que favoreçam o raciocínio indutivo, sustentado na formulação e testagem de conjecturas.

Nesta perspectiva, a Geometria será uma das áreas da Matemática que o desenvolvimento das Tecnologias de Informação e Comunicação (TIC) tornou mais acessíveis.  Ao referir as TIC estou, essencialmente, a considerar software dinâmico, como o Cabri-Géomètre e o Sketchpad, onde os desenhos adquirem movimento, favorecendo a passagem à figura.  A “geometria do software” possibilita, assim, o desenvolvimento das capacidades de explorar, enunciar e testar hipóteses.

No entanto, a utilização de outros materiais (de uso corrente, Tangram, geoplanos, variados puzzles, instrumentos de medição e desenho, ...;  enfim, um mundo posto à nossa disposição!) é, igualmente, necessária pela manipulação que proporciona e indispensável mesmo nos casos em que as escolas não têm computador ou os têm em número insuficiente.  Não foi por não existirem essas máquinas fabulosas que a Geometria deixou de se desenvolver e de constituir um dos mais importantes ramos da Matemática.  Não é por elas existirem que a Geometria é melhor tratada (?) hoje em dia, apesar da relevância que os actuais programas lhe conferem (aparece em primeiro lugar, a par com os Números e Cálculo).  Manusear, observar, comparar, descobrir, construir, traçar são objectivos importantes que podem ser alcançados através da exploração geométrica.  Mas, não continua esta a ser “deixada para trás”, em muitos casos, pela pressão do cumprimento dos conteúdos programáticos referentes à Aritmética / Álgebra?  No entanto, quantos aspectos geométricos não podem ser abordados / explorados quando se “dá”, por exemplo, as fracções:  rectângulos, círculos, triângulos, ... E a construção de figuras com o Tangram não consolidará o conceito de número fraccionário, pela relação entre a área das diferentes peças, ao mesmo tempo que permite conhecer triângulos e quadriláteros?

Assiste-se assim, frequentemente, a um isolamento da Geometria (e não só) apesar das conexões que permite dentro da própria Matemática e com outros ramos do saber - o rectângulo de ouro na arquitectura, em particular, e na arte, em geral é um dos casos mais badalados;  mas, como o utilizamos nós, professores de Matemática?

Comecei por escrever que a Geometria é um ramo privilegiado da Matemática por estar estreitamente ligada à realidade envolvente e à experiência dos alunos.  Será  (por direito próprio)?  Não temos o dever de “conceder” aos alunos, “neste virar de milénio”, o direito a uma alfabetização matemática que não passe, quase exclusivamente, pelo dominar de algoritmos, ao quase total controle do professor sobre o que é ensinado e não aprendido?

Passaram quase doze anos, existem Novos Programas de Matemática. O Geogebra veio colocar-se a par do Cabri e do Sketchpad, a Internet põe à disposição de professores e alunos recursos fabulosos. Creio todavia que este texto conserva alguma actualidade. 

Trabalho realizado por alunos com software dinâmico para estudo de pavimentações 

As condições de trabalho dos professores mudaram, não foram apenas o século, o milénio e até a década. Não creio que a Educação tenha mudado para melhor.
Lembro as alterações preconizadas por Paulo Abrantes.
Onde ficou o sonho de alguns?

Antiquado

Em 1992, Teodoro, V. D., transcreveu o seguinte poema que se encontra publicado por Cuban (1986). Este inscreve-se nos estudos da época sobre Tecnologias e Educação.
Por fazer parte da história recente das TIC (Tecnologias de Informação e Comunicação), aqui fica um extracto:

O Sr. Edison diz

Que a rádio substituirá o professor.

Já é possível aprender línguas

utilizando discos Victrola.

O filme permitirá visualizar

O que o rádio não consegue.

Os professores serão relegados para lá do sol - posto,

(...)

Ou, talvez, expostos em museus.

A educação tornar-se-á um processo

De premir um botão.

Talvez eu consiga um lugar

no painel de controlo.

Não acredito, nunca acreditei. Se o professor fosse totalmente substituído pela máquina (e certamente não foi isso que Cuban pretendeu) perder-se-ia a maior potencialidade da Educação: o contacto humano em contexto.

A introdução dos computadores na educação deve estar associada ao que se aprende e ao modo como se aprende. A sua influência deverá fazer-se sentir na organização de contextos e na mudança de interacção entre quem aprende e entre quem aprende e quem ensina (Coelho, 1996)

Uma experiência com que me deparei em 2005 foi ensinar TIC a um jovem do 3º Ciclo, com Necessidades Educativas Especiais muito profundas (tinha currículo alternativo, quase não lia nem escrevia, as suas aquisições eram muito básicas mas gostava muito de trabalhar em computador) que designarei por E.


Publico o guião de uma aula de TIC em que 
o objectivo era Reconhecer INTERIOR e EXTERIOR / DENTRO e FORA

Estratégia:

Abrir um ficheiro Novo do Word

Utilizar as Formas Automáticas das Ferramentas de Desenho:

            Formas elementares (para desenhar polígonos).

            Escrever dentro de cada polígono e fora, como no exemplo.

Gravar o ficheiro, dentro da sua pasta de trabalho. Continuar a fazer polígonos e ir gravando de vez em quando.

           

Pode, depois desenhar estrelas. Escrever o seu nome a azul, quando for no interior da estrela, e a roxo, quando estiver no exterior. Se quiser colorir a estrela, tem na Ordem de  passar Objecto para trás do Texto.

Inserir Clipart com palavra de Procura “Interior”

E. devia pesquisar Cliparts deste tipo

Inserir Clipart com palavra de Procura “Exterior”.

E. devia pesquisar Cliparts deste tipo

E. adquiriu noções de posicionamento que não dominava.

Sem o professor, unicamente com o computador, não teria sido possível.

Espero ...

Espero contar, não necessariamente por ordem cronológica, histórias que ocorreram ao longo dos anos em que fui professora. Desde 76 até me ter aposentado em 1 de Abril de 2010 (não foi mentira, não!).

Foi longa a caminhada.
Deliciosa e árdua (nos últimos anos, principalmente, desde que foi Ministra da Educação uma senhora apelidada de Maria de Lurdes Rodrigues, Professora Doutora, que protagonizou o período mais negro da Educação em Portugal, no pós 25 de Abril.
Mas espero não iniciar este blog com tristezas.

Espero também divulgar algumas experiências positivas, materiais que utilizei.

Que a minha experiência sirva para algo.

Dedico este blog a todos os alunos que tive (com quem era sempre agradável estar, quer nas aulas quer nas actividades extra-curriculares)

Campeonato Nacional de Jogos Matemáticos, Covilhã, Março de 2009

Dedico este blog à maioria dos meus colegas (eles sabem quais são),  com quem foi excelente trabalhar e que ficaram como amigos.


Isabel